{l}{7x-3y=8}{3x-y=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 3 y = 8 } \\ { 3 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=8$$

$$y=16$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x-3y=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$7x=3y+8$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(3y+8\right)$$

3y+8 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+8}{7} चा विकल्प वापरा, 3x-y=8.

$$3\left(\frac{3}{7}y+\frac{8}{7}\right)-y=8$$

\frac{3y+8}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{7}y+\frac{24}{7}-y=8$$

\frac{9y}{7} ते -y जोडा.

$$\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{24}{7} वजा करा.

$$\frac{2}{7}y=\frac{32}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{2}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=16$$

x=\frac{3}{7}y+\frac{8}{7} मध्ये y साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{7}\times 16+\frac{8}{7}$$

16 ला \frac{3}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{48+8}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{7} ते \frac{48}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=16$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-3\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{3}{2}&\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 8+\frac{3}{2}\times 8\\-\frac{3}{2}\times 8+\frac{7}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=8,y=16$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x-3y=8,3x-y=8$$

7x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$3\times 7x+3\left(-3\right)y=3\times 8,7\times 3x+7\left(-1\right)y=7\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$21x-9y=24,21x-7y=56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21x-9y=24 मधून 21x-7y=56 वजा करा.

$$21x-21x-9y+7y=24-56$$

21x ते -21x जोडा. 21x आणि -21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y+7y=24-56$$

-9y ते 7y जोडा.

$$-2y=24-56$$

24 ते -56 जोडा.

$$-2y=-32$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=16$$

3x-y=8 मध्ये y साठी 16 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-16=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 16 जोडा.

$$3x=24$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=8,y=16$$