{l}{7x+8y=30}{8x-5y=6} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+8y=30$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$7x=-8y+30$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

-8y+30 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-8y+30}{7} चा विकल्प वापरा, 8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

\frac{-8y+30}{7} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

-\frac{64y}{7} ते -5y जोडा.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{240}{7} वजा करा.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{99}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

2 ला -\frac{8}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{30}{7} ते -\frac{16}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

7x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

सरलीकृत करा.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 56x+64y=240 मधून 56x-35y=42 वजा करा.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

56x ते -56x जोडा. 56x आणि -56x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$64y+35y=240-42$$

64y ते 35y जोडा.

$$99y=240-42$$

240 ते -42 जोडा.

$$99y=198$$

दोन्ही बाजूंना 99 ने विभागा.

$$y=2$$

8x-5y=6 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x-5\times 2=6$$

2 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$8x-10=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 10 जोडा.

$$8x=16$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=2$$