{l}{7x+8y=15}{9x+8y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-7$$

$$y=8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+8y=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8y वजा करा.

$$7x=-8y+15$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

-8y+15 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-8y+15}{7} चा विकल्प वापरा, 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

\frac{-8y+15}{7} ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

-\frac{72y}{7} ते 8y जोडा.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{135}{7} वजा करा.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{16}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} मध्ये y साठी 8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

8 ला -\frac{8}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{15}{7} ते -\frac{64}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-7$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-7,y=8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-7,y=8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 7x+8y=15 मधून 9x+8y=1 वजा करा.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

8y ते -8y जोडा. 8y आणि -8y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7x-9x=15-1$$

7x ते -9x जोडा.

$$-2x=15-1$$

15 ते -1 जोडा.

$$-2x=14$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=-7$$

9x+8y=1 मध्ये x साठी -7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

-7 ला 9 वेळा गुणाकार करा.

$$-63+8y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 63 जोडा.

$$8y=64$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$y=8$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-7,y=8$$