{l}{7x+6y=18}{x=4-y/2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{y}{2} जोडा.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+6y=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$7x=-6y+18$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

-6y+18 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-6y+18}{7} चा विकल्प वापरा, 2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

\frac{-6y+18}{7} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

-\frac{12y}{7} ते y जोडा.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{36}{7} वजा करा.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-4$$

x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7} मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

-4 ला -\frac{6}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{18}{7} ते \frac{24}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{y}{2} जोडा.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना \frac{y}{2} जोडा.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$2x+y=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

7x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 14x+12y=36 मधून 14x+7y=56 वजा करा.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

14x ते -14x जोडा. 14x आणि -14x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-7y=36-56$$

12y ते -7y जोडा.

$$5y=36-56$$

36 ते -56 जोडा.

$$5y=-20$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=-4$$

2x+y=8 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-4=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$2x=12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-4$$