{l}{7x+6y=-9}{3x-5y=34} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = - 9 } \\ { 3 x - 5 y = 34 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=-5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+6y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6y वजा करा.

$$7x=-6y-9$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y-9\right)$$

-6y-9 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-6y-9}{7} चा विकल्प वापरा, 3x-5y=34.

$$3\left(-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7}\right)-5y=34$$

\frac{-6y-9}{7} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{18}{7}y-\frac{27}{7}-5y=34$$

-\frac{18y}{7} ते -5y जोडा.

$$-\frac{53}{7}y-\frac{27}{7}=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{27}{7} जोडा.

$$-\frac{53}{7}y=\frac{265}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{53}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-5$$

x=-\frac{6}{7}y-\frac{9}{7} मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-5\right)-\frac{9}{7}$$

-5 ला -\frac{6}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{30-9}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{9}{7} ते \frac{30}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-6\times 3}&-\frac{6}{7\left(-5\right)-6\times 3}\\-\frac{3}{7\left(-5\right)-6\times 3}&\frac{7}{7\left(-5\right)-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{53}&\frac{6}{53}\\\frac{3}{53}&-\frac{7}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{53}\left(-9\right)+\frac{6}{53}\times 34\\\frac{3}{53}\left(-9\right)-\frac{7}{53}\times 34\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=-5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+6y=-9,3x-5y=34$$

7x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$3\times 7x+3\times 6y=3\left(-9\right),7\times 3x+7\left(-5\right)y=7\times 34$$

सरलीकृत करा.

$$21x+18y=-27,21x-35y=238$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 21x+18y=-27 मधून 21x-35y=238 वजा करा.

$$21x-21x+18y+35y=-27-238$$

21x ते -21x जोडा. 21x आणि -21x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$18y+35y=-27-238$$

18y ते 35y जोडा.

$$53y=-27-238$$

-27 ते -238 जोडा.

$$53y=-265$$

दोन्ही बाजूंना 53 ने विभागा.

$$y=-5$$

3x-5y=34 मध्ये y साठी -5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-5\left(-5\right)=34$$

-5 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+25=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25 वजा करा.

$$3x=9$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=-5$$