{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+5y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$7x=-5y+12$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

-5y+12 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-5y+12}{7} चा विकल्प वापरा, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

\frac{-5y+12}{7} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-\frac{40y}{7} ते -2y जोडा.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{96}{7} वजा करा.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{54}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} मध्ये y साठी \frac{47}{54} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{47}{54} चा -\frac{5}{7} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{12}{7} ते -\frac{235}{378} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{59}{54}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 56x+40y=96 मधून 56x-14y=49 वजा करा.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

56x ते -56x जोडा. 56x आणि -56x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$40y+14y=96-49$$

40y ते 14y जोडा.

$$54y=96-49$$

96 ते -49 जोडा.

$$54y=47$$

दोन्ही बाजूंना 54 ने विभागा.

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7 मध्ये y साठी \frac{47}{54} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

\frac{47}{54} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{47}{27} जोडा.

$$8x=\frac{236}{27}$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=\frac{59}{54}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$