{l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=6$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7x+4y=52$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4y वजा करा.

$$7x=-4y+52$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

-4y+52 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-4y+52}{7} चा विकल्प वापरा, 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

\frac{-4y+52}{7} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

-\frac{16y}{7} ते -4y जोडा.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{208}{7} वजा करा.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{44}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=6$$

x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7} मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

6 ला -\frac{4}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{52}{7} ते -\frac{24}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=6$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

7x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

सरलीकृत करा.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 28x+16y=208 मधून 28x-28y=-56 वजा करा.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

28x ते -28x जोडा. 28x आणि -28x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$16y+28y=208+56$$

16y ते 28y जोडा.

$$44y=208+56$$

208 ते 56 जोडा.

$$44y=264$$

दोन्ही बाजूंना 44 ने विभागा.

$$y=6$$

4x-4y=-8 मध्ये y साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x-4\times 6=-8$$

6 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$4x-24=-8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 24 जोडा.

$$4x=16$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=6$$