{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z साठी सोडवा

$$z=1$$

$$w=2$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2z वजा करा.

$$5w-2z=8$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला w विलग करून, w साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$7w+2z=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2z वजा करा.

$$7w=-2z+16$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

-2z+16 ला \frac{1}{7} वेळा गुणाकार करा.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

इतर समीकरणामध्ये w साठी \frac{-2z+16}{7} चा विकल्प वापरा, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

\frac{-2z+16}{7} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-\frac{10z}{7} ते -2z जोडा.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{80}{7} वजा करा.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{24}{7} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} मध्ये z साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण w साठी थेट सोडवू शकता.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{16}{7} ते -\frac{2}{7} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$w=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$w=2,z=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2z वजा करा.

$$5w-2z=8$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे w आणि z घटक बाहेर काढा.

$$w=2,z=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2z वजा करा.

$$5w-2z=8$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w आणि 5w समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने गुणाकार करा.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 35w+10z=80 मधून 35w-14z=56 वजा करा.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

35w ते -35w जोडा. 35w आणि -35w रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10z+14z=80-56$$

10z ते 14z जोडा.

$$24z=80-56$$

80 ते -56 जोडा.

$$24z=24$$

दोन्ही बाजूंना 24 ने विभागा.

$$z=1$$

5w-2z=8 मध्ये z साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण w साठी थेट सोडवू शकता.

$$5w-2=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$5w=10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$w=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$w=2,z=1$$