{l}{62x+y=44}{34x-y=36} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$62x+y=44$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$62x=-y+44$$

दोन्ही बाजूंना 62 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

-y+44 ला \frac{1}{62} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} चा विकल्प वापरा, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

-\frac{y}{62}+\frac{22}{31} ला 34 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

-\frac{17y}{31} ते -y जोडा.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{748}{31} वजा करा.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{48}{31} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{23}{3}$$

x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} मध्ये y साठी -\frac{23}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{23}{3} चा -\frac{1}{62} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{22}{31} ते \frac{23}{186} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{5}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x आणि 34x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 34 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 62 ने गुणाकार करा.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

सरलीकृत करा.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2108x+34y=1496 मधून 2108x-62y=2232 वजा करा.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

2108x ते -2108x जोडा. 2108x आणि -2108x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$34y+62y=1496-2232$$

34y ते 62y जोडा.

$$96y=1496-2232$$

1496 ते -2232 जोडा.

$$96y=-736$$

दोन्ही बाजूंना 96 ने विभागा.

$$y=-\frac{23}{3}$$

34x-y=36 मध्ये y साठी -\frac{23}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{23}{3} वजा करा.

$$34x=\frac{85}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 34 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{6}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$