{l}{6y+4x=27}{x+y=50} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6y+4x=27$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4x वजा करा.

$$6y=-4x+27$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

-4x+27 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} चा विकल्प वापरा, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

-\frac{2x}{3} ते x जोडा.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{9}{2} वजा करा.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने गुणाकार करा.

$$x=\frac{273}{2}$$

y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2} मध्ये x साठी \frac{273}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{273}{2} चा -\frac{2}{3} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2} ते -91 जोडा.

$$y=-\frac{173}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

6y आणि y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

सरलीकृत करा.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 6y+4x=27 मधून 6y+6x=300 वजा करा.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

6y ते -6y जोडा. 6y आणि -6y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4x-6x=27-300$$

4x ते -6x जोडा.

$$-2x=27-300$$

27 ते -300 जोडा.

$$-2x=-273$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{273}{2}$$

y+x=50 मध्ये x साठी \frac{273}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{273}{2} वजा करा.

$$y=-\frac{173}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$