{l}{6x-8y=12}{12x-4y=24} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 8 y = 12 } \\ { 12 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=0$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x-8y=12,12x-4y=24$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x-8y=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8y जोडा.

$$6x=8y+12$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(8y+12\right)$$

8y+12 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{4y}{3}+2 चा विकल्प वापरा, 12x-4y=24.

$$12\left(\frac{4}{3}y+2\right)-4y=24$$

\frac{4y}{3}+2 ला 12 वेळा गुणाकार करा.

$$16y+24-4y=24$$

16y ते -4y जोडा.

$$12y+24=24$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$12y=0$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$y=0$$

x=\frac{4}{3}y+2 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x-8y=12,12x-4y=24$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-8\\12&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-8\times 12\right)}&-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-8\times 12\right)}\\-\frac{12}{6\left(-4\right)-\left(-8\times 12\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-8\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\24\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 12+\frac{1}{9}\times 24\\-\frac{1}{6}\times 12+\frac{1}{12}\times 24\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x-8y=12,12x-4y=24$$

6x आणि 12x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 12 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$12\times 6x+12\left(-8\right)y=12\times 12,6\times 12x+6\left(-4\right)y=6\times 24$$

सरलीकृत करा.

$$72x-96y=144,72x-24y=144$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 72x-96y=144 मधून 72x-24y=144 वजा करा.

$$72x-72x-96y+24y=144-144$$

72x ते -72x जोडा. 72x आणि -72x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-96y+24y=144-144$$

-96y ते 24y जोडा.

$$-72y=144-144$$

144 ते -144 जोडा.

$$-72y=0$$

दोन्ही बाजूंना -72 ने विभागा.

$$y=0$$

12x-4y=24 मध्ये y साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$12x=24$$

दोन्ही बाजूंना 12 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=0$$