{l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+3y=25.95$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$6x=-3y+25.95$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

-3y+25.95 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{2}+\frac{173}{40} चा विकल्प वापरा, 4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

-\frac{y}{2}+\frac{173}{40} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

-2y ते 6y जोडा.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{173}{10} वजा करा.

$$4y=\frac{47}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{47}{20}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40} मध्ये y साठी \frac{47}{20} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{47}{20} चा -\frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{173}{40} ते -\frac{47}{40} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{63}{20}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

6x आणि 4x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

सरलीकृत करा.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 24x+12y=103.8 मधून 24x+36y=160.2 वजा करा.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

24x ते -24x जोडा. 24x आणि -24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

12y ते -36y जोडा.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून 103.8 ते -160.2 जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$-24y=-56.4$$

दोन्ही बाजूंना -24 ने विभागा.

$$y=\frac{47}{20}$$

4x+6y=26.7 मध्ये y साठी \frac{47}{20} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

\frac{47}{20} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{141}{10} वजा करा.

$$4x=\frac{63}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{63}{20}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$