{l}{6x+2y=20}{2x+4y=-20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 20 } \\ { 2 x + 4 y = - 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-8$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$6x+2y=20,2x+4y=-20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$6x+2y=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$6x=-2y+20$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

-2y+20 ला \frac{1}{6} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+10}{3} चा विकल्प वापरा, 2x+4y=-20.

$$2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+4y=-20$$

\frac{-y+10}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{20}{3}+4y=-20$$

-\frac{2y}{3} ते 4y जोडा.

$$\frac{10}{3}y+\frac{20}{3}=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{20}{3} वजा करा.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{80}{3}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{10}{3} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-8$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3} मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-8\right)+\frac{10}{3}$$

-8 ला -\frac{1}{3} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{10}{3} ते \frac{8}{3} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-8$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$6x+2y=20,2x+4y=-20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{6\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{6\times 4-2\times 2}&\frac{6}{6\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\left(-20\right)\\-\frac{1}{10}\times 20+\frac{3}{10}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-8$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$6x+2y=20,2x+4y=-20$$

6x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने गुणाकार करा.

$$2\times 6x+2\times 2y=2\times 20,6\times 2x+6\times 4y=6\left(-20\right)$$

सरलीकृत करा.

$$12x+4y=40,12x+24y=-120$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+4y=40 मधून 12x+24y=-120 वजा करा.

$$12x-12x+4y-24y=40+120$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4y-24y=40+120$$

4y ते -24y जोडा.

$$-20y=40+120$$

40 ते 120 जोडा.

$$-20y=160$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने विभागा.

$$y=-8$$

2x+4y=-20 मध्ये y साठी -8 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+4\left(-8\right)=-20$$

-8 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-32=-20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 32 जोडा.

$$2x=12$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-8$$