{l}{53x+22y=400}{10y+x=60} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 53 x + 22 y = 400 } \\ { 10 y + x = 60 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{670}{127} = 5\frac{35}{127} \approx 5.275590551$$

$$y = \frac{695}{127} = 5\frac{60}{127} \approx 5.472440945$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$53x+22y=400$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 22y वजा करा.

$$53x=-22y+400$$

दोन्ही बाजूंना 53 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{53}\left(-22y+400\right)$$

-22y+400 ला \frac{1}{53} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-22y+400}{53} चा विकल्प वापरा, x+10y=60.

$$-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53}+10y=60$$

-\frac{22y}{53} ते 10y जोडा.

$$\frac{508}{53}y+\frac{400}{53}=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{400}{53} वजा करा.

$$\frac{508}{53}y=\frac{2780}{53}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{508}{53} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{695}{127}$$

x=-\frac{22}{53}y+\frac{400}{53} मध्ये y साठी \frac{695}{127} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{22}{53}\times \frac{695}{127}+\frac{400}{53}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{695}{127} चा -\frac{22}{53} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{15290}{6731}+\frac{400}{53}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{400}{53} ते -\frac{15290}{6731} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{670}{127}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}53&22\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{53\times 10-22}&-\frac{22}{53\times 10-22}\\-\frac{1}{53\times 10-22}&\frac{53}{53\times 10-22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}&-\frac{11}{254}\\-\frac{1}{508}&\frac{53}{508}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}400\\60\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{254}\times 400-\frac{11}{254}\times 60\\-\frac{1}{508}\times 400+\frac{53}{508}\times 60\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{670}{127}\\\frac{695}{127}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$53x+22y=400,x+10y=60$$

53x आणि x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 53 ने गुणाकार करा.

$$53x+22y=400,53x+53\times 10y=53\times 60$$

सरलीकृत करा.

$$53x+22y=400,53x+530y=3180$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 53x+22y=400 मधून 53x+530y=3180 वजा करा.

$$53x-53x+22y-530y=400-3180$$

53x ते -53x जोडा. 53x आणि -53x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$22y-530y=400-3180$$

22y ते -530y जोडा.

$$-508y=400-3180$$

400 ते -3180 जोडा.

$$-508y=-2780$$

दोन्ही बाजूंना -508 ने विभागा.

$$y=\frac{695}{127}$$

x+10y=60 मध्ये y साठी \frac{695}{127} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x+10\times \frac{695}{127}=60$$

\frac{695}{127} ला 10 वेळा गुणाकार करा.

$$x+\frac{6950}{127}=60$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{6950}{127} वजा करा.

$$x=\frac{670}{127}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{670}{127},y=\frac{695}{127}$$