{l}{50x+3y=1}{2x-4y=5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$50x+3y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$50x=-3y+1$$

दोन्ही बाजूंना 50 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

-3y+1 ला \frac{1}{50} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+1}{50} चा विकल्प वापरा, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

\frac{-3y+1}{50} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

-\frac{3y}{25} ते -4y जोडा.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{1}{25} वजा करा.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{103}{25} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{124}{103}$$

x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} मध्ये y साठी -\frac{124}{103} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{124}{103} चा -\frac{3}{50} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{50} ते \frac{186}{2575} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{19}{206}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 50 ने गुणाकार करा.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 100x+6y=2 मधून 100x-200y=250 वजा करा.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

100x ते -100x जोडा. 100x आणि -100x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y+200y=2-250$$

6y ते 200y जोडा.

$$206y=2-250$$

2 ते -250 जोडा.

$$206y=-248$$

दोन्ही बाजूंना 206 ने विभागा.

$$y=-\frac{124}{103}$$

2x-4y=5 मध्ये y साठी -\frac{124}{103} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-\frac{124}{103} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{496}{103} वजा करा.

$$2x=\frac{19}{103}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{19}{206}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$