{l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5y+8x=-18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8x वजा करा.

$$5y=-8x-18$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

-8x-18 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{-8x-18}{5} चा विकल्प वापरा, 5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

\frac{-8x-18}{5} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-8x-18+2x=58$$

-8x ते 2x जोडा.

$$-6x-18=58$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 18 जोडा.

$$-6x=76$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=-\frac{38}{3}$$

y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} मध्ये x साठी -\frac{38}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{38}{3} चा -\frac{8}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{18}{5} ते \frac{304}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{50}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5y+8x=-18 मधून 5y+2x=58 वजा करा.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

5y ते -5y जोडा. 5y आणि -5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$8x-2x=-18-58$$

8x ते -2x जोडा.

$$6x=-18-58$$

-18 ते -58 जोडा.

$$6x=-76$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-\frac{38}{3}$$

5y+2x=58 मध्ये x साठी -\frac{38}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

-\frac{38}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{76}{3} जोडा.

$$5y=\frac{250}{3}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{50}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$