{l}{5y+3=9x}{4x-2=1y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 3 = 9 x } \\ { 4 x - 2 = 1 y } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=\frac{7}{11}\approx 0.636363636$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$5y+3-9x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5y-9x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 1y वजा करा.

$$4x-2-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x-y=2$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5y-9x=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 9x जोडा.

$$5y=9x-3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{5}\left(9x-3\right)$$

9x-3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{9}{5}x-\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी \frac{9x-3}{5} चा विकल्प वापरा, -y+4x=2.

$$-\left(\frac{9}{5}x-\frac{3}{5}\right)+4x=2$$

\frac{9x-3}{5} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{5}x+\frac{3}{5}+4x=2$$

-\frac{9x}{5} ते 4x जोडा.

$$\frac{11}{5}x+\frac{3}{5}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{3}{5} वजा करा.

$$\frac{11}{5}x=\frac{7}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{7}{11}$$

y=\frac{9}{5}x-\frac{3}{5} मध्ये x साठी \frac{7}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{9}{5}\times \frac{7}{11}-\frac{3}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{7}{11} चा \frac{9}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$y=\frac{63}{55}-\frac{3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{3}{5} ते \frac{63}{55} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=\frac{6}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$5y+3-9x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5y-9x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 1y वजा करा.

$$4x-2-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x-y=2$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-9\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}&-\frac{-9}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-9\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&\frac{9}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\left(-3\right)+\frac{9}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\left(-3\right)+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{11}\\\frac{7}{11}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9x वजा करा.

$$5y+3-9x=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 3 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$5y-9x=-3$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 1y वजा करा.

$$4x-2-y=0$$

दोन्ही बाजूंना 2 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$4x-y=2$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5y-9x=-3,-y+4x=2$$

5y आणि -y समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-5y-\left(-9x\right)=-\left(-3\right),5\left(-1\right)y+5\times 4x=5\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$-5y+9x=3,-5y+20x=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5y+9x=3 मधून -5y+20x=10 वजा करा.

$$-5y+5y+9x-20x=3-10$$

-5y ते 5y जोडा. -5y आणि 5y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9x-20x=3-10$$

9x ते -20x जोडा.

$$-11x=3-10$$

3 ते -10 जोडा.

$$-11x=-7$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$x=\frac{7}{11}$$

-y+4x=2 मध्ये x साठी \frac{7}{11} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$-y+4\times \frac{7}{11}=2$$

\frac{7}{11} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-y+\frac{28}{11}=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{28}{11} वजा करा.

$$-y=-\frac{6}{11}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=\frac{6}{11}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=\frac{6}{11},x=\frac{7}{11}$$