{l}{5x-y=3}{-2x+4y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y+3$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

y+3 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3+y}{5} चा विकल्प वापरा, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

\frac{3+y}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

-\frac{2y}{5} ते 4y जोडा.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{6}{5} जोडा.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{18}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{11}{3}$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} मध्ये y साठी \frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{11}{3} चा \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{3}{5} ते \frac{11}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{4}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

5x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x+2y=-6 मधून -10x+20y=60 वजा करा.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-20y=-6-60$$

2y ते -20y जोडा.

$$-18y=-6-60$$

-6 ते -60 जोडा.

$$-18y=-66$$

दोन्ही बाजूंना -18 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{3}$$

-2x+4y=12 मध्ये y साठी \frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

\frac{11}{3} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{3} वजा करा.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=\frac{4}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$