{l}{5x-y=13}{2x+3y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 13 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-y=13$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$5x=y+13$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+13\right)$$

y+13 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{13+y}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+3y=12.

$$2\left(\frac{1}{5}y+\frac{13}{5}\right)+3y=12$$

\frac{13+y}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{2}{5}y+\frac{26}{5}+3y=12$$

\frac{2y}{5} ते 3y जोडा.

$$\frac{17}{5}y+\frac{26}{5}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{26}{5} वजा करा.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{17}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{13}{5} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{5}\times 2+\frac{13}{5}$$

2 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2+13}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{13}{5} ते \frac{2}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 13+\frac{1}{17}\times 12\\-\frac{2}{17}\times 13+\frac{5}{17}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-y=13,2x+3y=12$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 13,5\times 2x+5\times 3y=5\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$10x-2y=26,10x+15y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-2y=26 मधून 10x+15y=60 वजा करा.

$$10x-10x-2y-15y=26-60$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-2y-15y=26-60$$

-2y ते -15y जोडा.

$$-17y=26-60$$

26 ते -60 जोडा.

$$-17y=-34$$

दोन्ही बाजूंना -17 ने विभागा.

$$y=2$$

2x+3y=12 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+3\times 2=12$$

2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+6=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$2x=6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=2$$