{l}{5x-8y=9}{2x+y=12} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 8 y = 9 } \\ { 2 x + y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=5$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-8y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 8y जोडा.

$$5x=8y+9$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(8y+9\right)$$

8y+9 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{8y+9}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+y=12.

$$2\left(\frac{8}{5}y+\frac{9}{5}\right)+y=12$$

\frac{8y+9}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{16}{5}y+\frac{18}{5}+y=12$$

\frac{16y}{5} ते y जोडा.

$$\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{5} वजा करा.

$$\frac{21}{5}y=\frac{42}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{21}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=\frac{8}{5}y+\frac{9}{5} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{8}{5}\times 2+\frac{9}{5}$$

2 ला \frac{8}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{16+9}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{5} ते \frac{16}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-8\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}&\frac{8}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{21}\times 9+\frac{8}{21}\times 12\\-\frac{2}{21}\times 9+\frac{5}{21}\times 12\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=5,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-8y=9,2x+y=12$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 9,5\times 2x+5y=5\times 12$$

सरलीकृत करा.

$$10x-16y=18,10x+5y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-16y=18 मधून 10x+5y=60 वजा करा.

$$10x-10x-16y-5y=18-60$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-16y-5y=18-60$$

-16y ते -5y जोडा.

$$-21y=18-60$$

18 ते -60 जोडा.

$$-21y=-42$$

दोन्ही बाजूंना -21 ने विभागा.

$$y=2$$

2x+y=12 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+2=12$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$2x=10$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=5$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=5,y=2$$