{l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-7y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$5x=7y+4$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

7y+4 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y+4}{5} चा विकल्प वापरा, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

\frac{7y+4}{5} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

-\frac{7y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{4}{5} जोडा.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{11}{3}$$

x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5} मध्ये y साठी -\frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{11}{3} चा \frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{4}{5} ते -\frac{77}{15} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{13}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

5x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -5x+7y=-4 मधून -5x+10y=-15 वजा करा.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

-5x ते 5x जोडा. -5x आणि 5x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$7y-10y=-4+15$$

7y ते -10y जोडा.

$$-3y=-4+15$$

-4 ते 15 जोडा.

$$-3y=11$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$y=-\frac{11}{3}$$

-x+2y=-3 मध्ये y साठी -\frac{11}{3} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

-\frac{11}{3} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{22}{3} जोडा.

$$-x=\frac{13}{3}$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=-\frac{13}{3}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$