{l}{5x-7y=-9}{-2x-y=-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 9 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-7y=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$5x=7y-9$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-9\right)$$

7y-9 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y-9}{5} चा विकल्प वापरा, -2x-y=-4.

$$-2\left(\frac{7}{5}y-\frac{9}{5}\right)-y=-4$$

\frac{7y-9}{5} ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{18}{5}-y=-4$$

-\frac{14y}{5} ते -y जोडा.

$$-\frac{19}{5}y+\frac{18}{5}=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{5} वजा करा.

$$-\frac{19}{5}y=-\frac{38}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{19}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=\frac{7}{5}y-\frac{9}{5} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{5}\times 2-\frac{9}{5}$$

2 ला \frac{7}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{14-9}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{9}{5} ते \frac{14}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-1\right)-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&-\frac{7}{19}\\-\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-9\right)-\frac{7}{19}\left(-4\right)\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)-\frac{5}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-7y=-9,-2x-y=-4$$

5x आणि -2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-2\times 5x-2\left(-7\right)y=-2\left(-9\right),5\left(-2\right)x+5\left(-1\right)y=5\left(-4\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-10x+14y=18,-10x-5y=-20$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -10x+14y=18 मधून -10x-5y=-20 वजा करा.

$$-10x+10x+14y+5y=18+20$$

-10x ते 10x जोडा. -10x आणि 10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$14y+5y=18+20$$

14y ते 5y जोडा.

$$19y=18+20$$

18 ते 20 जोडा.

$$19y=38$$

दोन्ही बाजूंना 19 ने विभागा.

$$y=2$$

-2x-y=-4 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-2x-2=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2 जोडा.

$$-2x=-2$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=2$$