{l}{5x-6y=10}{2x+7y=3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-6y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6y जोडा.

$$5x=6y+10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

6y+10 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{6y}{5}+2 चा विकल्प वापरा, 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

\frac{6y}{5}+2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

\frac{12y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{47}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{5}{47}$$

x=\frac{6}{5}y+2 मध्ये y साठी -\frac{5}{47} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{5}{47} चा \frac{6}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

2 ते -\frac{6}{47} जोडा.

$$x=\frac{88}{47}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

सरलीकृत करा.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-12y=20 मधून 10x+35y=15 वजा करा.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-12y-35y=20-15$$

-12y ते -35y जोडा.

$$-47y=20-15$$

20 ते -15 जोडा.

$$-47y=5$$

दोन्ही बाजूंना -47 ने विभागा.

$$y=-\frac{5}{47}$$

2x+7y=3 मध्ये y साठी -\frac{5}{47} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

-\frac{5}{47} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{35}{47} जोडा.

$$2x=\frac{176}{47}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{88}{47}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$