{l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{173}{8} = 21\frac{5}{8} = 21.625$$

$$y = \frac{187}{8} = 23\frac{3}{8} = 23.375$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y-4=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 4 जोडा.

$$5x-3y=38$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+38$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)$$

3y+38 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+38}{5} चा विकल्प वापरा, -3x+5y-18=34.

$$-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

\frac{3y+38}{5} ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

-\frac{9y}{5} ते 5y जोडा.

$$\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

-\frac{114}{5} ते -18 जोडा.

$$\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{204}{5} जोडा.

$$\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{16}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{187}{8}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5} मध्ये y साठी \frac{187}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{187}{8} चा \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{38}{5} ते \frac{561}{40} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{173}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

5x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

सरलीकृत करा.

$$-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -15x+9y+12=-102 मधून -15x+25y-90=170 वजा करा.

$$-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170$$

-15x ते 15x जोडा. -15x आणि 15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$9y-25y+12+90=-102-170$$

9y ते -25y जोडा.

$$-16y+12+90=-102-170$$

12 ते 90 जोडा.

$$-16y+102=-102-170$$

-102 ते -170 जोडा.

$$-16y+102=-272$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 102 वजा करा.

$$-16y=-374$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$y=\frac{187}{8}$$

-3x+5y-18=34 मध्ये y साठी \frac{187}{8} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x+5\times \frac{187}{8}-18=34$$

\frac{187}{8} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+\frac{935}{8}-18=34$$

\frac{935}{8} ते -18 जोडा.

$$-3x+\frac{791}{8}=34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{791}{8} वजा करा.

$$-3x=-\frac{519}{8}$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=\frac{173}{8}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}$$