{l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+2$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

3y+2 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+2}{5} चा विकल्प वापरा, 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

\frac{3y+2}{5} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

\frac{18y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{12}{5} वजा करा.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{28}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{37}{28}$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5} मध्ये y साठी -\frac{37}{28} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{37}{28} चा \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{2}{5} ते -\frac{111}{140} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{11}{28}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

5x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

सरलीकृत करा.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x-18y=12 मधून 30x+10y=-25 वजा करा.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-18y-10y=12+25$$

-18y ते -10y जोडा.

$$-28y=12+25$$

12 ते 25 जोडा.

$$-28y=37$$

दोन्ही बाजूंना -28 ने विभागा.

$$y=-\frac{37}{28}$$

6x+2y=-5 मध्ये y साठी -\frac{37}{28} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

-\frac{37}{28} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{37}{14} जोडा.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=-\frac{11}{28}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$