{l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1200$$

$$y=1400$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y=1800$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+1800$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

1800+3y ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y}{5}+360 चा विकल्प वापरा, 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

\frac{3y}{5}+360 ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

\frac{18y}{5} ते -4y जोडा.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2160 वजा करा.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{2}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1400$$

x=\frac{3}{5}y+360 मध्ये y साठी 1400 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

1400 ला \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=840+360$$

360 ते 840 जोडा.

$$x=1200$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1200,y=1400$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1200,y=1400$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

5x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

सरलीकृत करा.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x-18y=10800 मधून 30x-20y=8000 वजा करा.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-18y+20y=10800-8000$$

-18y ते 20y जोडा.

$$2y=10800-8000$$

10800 ते -8000 जोडा.

$$2y=2800$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=1400$$

6x-4y=1600 मध्ये y साठी 1400 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-4\times 1400=1600$$

1400 ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-5600=1600$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5600 जोडा.

$$6x=7200$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=1200$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1200,y=1400$$