{l}{5x-2y=9}{2x-5y=-9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 9 } \\ { 2 x - 5 y = - 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=3$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-2y=9,2x-5y=-9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-2y=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$5x=2y+9$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+9\right)$$

2y+9 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{2y+9}{5} चा विकल्प वापरा, 2x-5y=-9.

$$2\left(\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}\right)-5y=-9$$

\frac{2y+9}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{4}{5}y+\frac{18}{5}-5y=-9$$

\frac{4y}{5} ते -5y जोडा.

$$-\frac{21}{5}y+\frac{18}{5}=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{18}{5} वजा करा.

$$-\frac{21}{5}y=-\frac{63}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{21}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{9}{5}$$

3 ला \frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{6+9}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{9}{5} ते \frac{6}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-2y=9,2x-5y=-9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}&\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\\frac{2}{21}&-\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9-\frac{2}{21}\left(-9\right)\\\frac{2}{21}\times 9-\frac{5}{21}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=3,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-2y=9,2x-5y=-9$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\left(-2\right)y=2\times 9,5\times 2x+5\left(-5\right)y=5\left(-9\right)$$

सरलीकृत करा.

$$10x-4y=18,10x-25y=-45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x-4y=18 मधून 10x-25y=-45 वजा करा.

$$10x-10x-4y+25y=18+45$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-4y+25y=18+45$$

-4y ते 25y जोडा.

$$21y=18+45$$

18 ते 45 जोडा.

$$21y=63$$

दोन्ही बाजूंना 21 ने विभागा.

$$y=3$$

2x-5y=-9 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x-5\times 3=-9$$

3 ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x-15=-9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 15 जोडा.

$$2x=6$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=3$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=3,y=3$$