{l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=13$$

$$y=17$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$5x-14-3y=0$$

दोन्ही बाजूंना 14 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$5x-3y=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 मिळविण्यासाठी 35 ला 7 ने भागाकार करा.

$$3x-2y=5$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-3y=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$5x=3y+14$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

3y+14 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+14}{5} चा विकल्प वापरा, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

\frac{3y+14}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

\frac{9y}{5} ते -2y जोडा.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{42}{5} वजा करा.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने गुणाकार करा.

$$y=17$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5} मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

17 ला \frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{14}{5} ते \frac{51}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=17$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$5x-14-3y=0$$

दोन्ही बाजूंना 14 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$5x-3y=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 मिळविण्यासाठी 35 ला 7 ने भागाकार करा.

$$3x-2y=5$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=13,y=17$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 3y वजा करा.

$$5x-14-3y=0$$

दोन्ही बाजूंना 14 जोडा. कोणत्याही संख्येत शून्य अधिक केल्यास तीच संख्या मिळते.

$$5x-3y=14$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

5 मिळविण्यासाठी 35 ला 7 ने भागाकार करा.

$$3x-2y=5$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

सरलीकृत करा.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x-9y=42 मधून 15x-10y=25 वजा करा.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-9y+10y=42-25$$

-9y ते 10y जोडा.

$$y=42-25$$

42 ते -25 जोडा.

$$y=17$$

3x-2y=5 मध्ये y साठी 17 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-2\times 17=5$$

17 ला -2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x-34=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 34 जोडा.

$$3x=39$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=13$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=13,y=17$$