{l}{5x=7z}{8x=9z} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

x, z साठी सोडवा

$$x=0$$

$$z=0$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7z वजा करा.

$$5x-7z=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9z वजा करा.

$$8x-9z=0$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-7z=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7z जोडा.

$$5x=7z$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

7z ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{5}z$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7z}{5} चा विकल्प वापरा, 8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

\frac{7z}{5} ला 8 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

\frac{56z}{5} ते -9z जोडा.

$$\frac{11}{5}z=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{11}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$z=0$$

x=\frac{7}{5}z मध्ये z साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,z=0$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7z वजा करा.

$$5x-7z=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9z वजा करा.

$$8x-9z=0$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि z घटक बाहेर काढा.

$$x=0,z=0$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 7z वजा करा.

$$5x-7z=0$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 9z वजा करा.

$$8x-9z=0$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

5x आणि 8x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 8 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

सरलीकृत करा.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 40x-56z=0 मधून 40x-45z=0 वजा करा.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

40x ते -40x जोडा. 40x आणि -40x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-56z+45z=0$$

-56z ते 45z जोडा.

$$-11z=0$$

दोन्ही बाजूंना -11 ने विभागा.

$$z=0$$

8x-9z=0 मध्ये z साठी 0 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$8x=0$$

दोन्ही बाजूंना 8 ने विभागा.

$$x=0$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=0,z=0$$