{l}{5x=2y+16}{7x=32-2y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=4$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5x-2y=16$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$7x+2y=32$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x-2y=16$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$5x=2y+16$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

16+2y ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{16+2y}{5} चा विकल्प वापरा, 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

\frac{16+2y}{5} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

\frac{14y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{112}{5} वजा करा.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{24}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

2 ला \frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{16}{5} ते \frac{4}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5x-2y=16$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$7x+2y=32$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=4,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून 2y वजा करा.

$$5x-2y=16$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 2y जोडा.

$$7x+2y=32$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

5x आणि 7x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 7 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

सरलीकृत करा.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 35x-14y=112 मधून 35x+10y=160 वजा करा.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

35x ते -35x जोडा. 35x आणि -35x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-14y-10y=112-160$$

-14y ते -10y जोडा.

$$-24y=112-160$$

112 ते -160 जोडा.

$$-24y=-48$$

दोन्ही बाजूंना -24 ने विभागा.

$$y=2$$

7x+2y=32 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$7x+2\times 2=32$$

2 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$7x+4=32$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 4 वजा करा.

$$7x=28$$

दोन्ही बाजूंना 7 ने विभागा.

$$x=4$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=4,y=2$$