{l}{5x+y=19}{2x+y=1} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-11$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+y=19$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$5x=-y+19$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

-y+19 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+19}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

\frac{-y+19}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

-\frac{2y}{5} ते y जोडा.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{38}{5} वजा करा.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{3}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-11$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5} मध्ये y साठी -11 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

-11 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{19}{5} ते \frac{11}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-11$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=-11$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 5x+y=19 मधून 2x+y=1 वजा करा.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

y ते -y जोडा. y आणि -y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$5x-2x=19-1$$

5x ते -2x जोडा.

$$3x=19-1$$

19 ते -1 जोडा.

$$3x=18$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=6$$

2x+y=1 मध्ये x साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$2\times 6+y=1$$

6 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$12+y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 12 वजा करा.

$$y=-11$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=-11$$