{l}{5x+y=17}{3x+2y=20} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 17 } \\ { 3 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+y=17$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$5x=-y+17$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+17\right)$$

-y+17 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+17}{5} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=20.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}\right)+2y=20$$

\frac{-y+17}{5} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{51}{5}+2y=20$$

-\frac{3y}{5} ते 2y जोडा.

$$\frac{7}{5}y+\frac{51}{5}=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{51}{5} वजा करा.

$$\frac{7}{5}y=\frac{49}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{7}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5} मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\times 7+\frac{17}{5}$$

7 ला -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-7+17}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{17}{5} ते -\frac{7}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=7$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-3}&-\frac{1}{5\times 2-3}\\-\frac{3}{5\times 2-3}&\frac{5}{5\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 17-\frac{1}{7}\times 20\\-\frac{3}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=7$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

5x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5x+3y=3\times 17,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

सरलीकृत करा.

$$15x+3y=51,15x+10y=100$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15x+3y=51 मधून 15x+10y=100 वजा करा.

$$15x-15x+3y-10y=51-100$$

15x ते -15x जोडा. 15x आणि -15x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-10y=51-100$$

3y ते -10y जोडा.

$$-7y=51-100$$

51 ते -100 जोडा.

$$-7y=-49$$

दोन्ही बाजूंना -7 ने विभागा.

$$y=7$$

3x+2y=20 मध्ये y साठी 7 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times 7=20$$

7 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+14=20$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 14 वजा करा.

$$3x=6$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=7$$