{l}{5x+y=-1}{2x+5y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+y=-1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$5x=-y-1$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

-y-1 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y-1}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

\frac{-y-1}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

-\frac{2y}{5} ते 5y जोडा.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{2}{5} जोडा.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{23}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{37}{23}$$

x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5} मध्ये y साठी \frac{37}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{37}{23} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{1}{5} ते -\frac{37}{115} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-\frac{12}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+2y=-2 मधून 10x+25y=35 वजा करा.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-25y=-2-35$$

2y ते -25y जोडा.

$$-23y=-2-35$$

-2 ते -35 जोडा.

$$-23y=-37$$

दोन्ही बाजूंना -23 ने विभागा.

$$y=\frac{37}{23}$$

2x+5y=7 मध्ये y साठी \frac{37}{23} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

\frac{37}{23} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{185}{23} वजा करा.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=-\frac{12}{23}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$