{l}{5x+5y=14}{2x+4y=10} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+5y=14$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 5y वजा करा.

$$5x=-5y+14$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

-5y+14 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -y+\frac{14}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

-y+\frac{14}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

-2y ते 4y जोडा.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{28}{5} वजा करा.

$$2y=\frac{22}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{5}$$

x=-y+\frac{14}{5} मध्ये y साठी \frac{11}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

\frac{11}{5} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{14}{5} ते -\frac{11}{5} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

सरलीकृत करा.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+10y=28 मधून 10x+20y=50 वजा करा.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$10y-20y=28-50$$

10y ते -20y जोडा.

$$-10y=28-50$$

28 ते -50 जोडा.

$$-10y=-22$$

दोन्ही बाजूंना -10 ने विभागा.

$$y=\frac{11}{5}$$

2x+4y=10 मध्ये y साठी \frac{11}{5} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

\frac{11}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{44}{5} वजा करा.

$$2x=\frac{6}{5}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{3}{5}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$