{l}{5x+3y=6}{2x+7y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+3y=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 3y वजा करा.

$$5x=-3y+6$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

-3y+6 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-3y+6}{5} चा विकल्प वापरा, 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

\frac{-3y+6}{5} ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

-\frac{6y}{5} ते 7y जोडा.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{12}{5} वजा करा.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{29}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{33}{29}$$

x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5} मध्ये y साठी \frac{33}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{33}{29} चा -\frac{3}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{6}{5} ते -\frac{99}{145} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{15}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

5x आणि 2x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 2 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 10x+6y=12 मधून 10x+35y=45 वजा करा.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

10x ते -10x जोडा. 10x आणि -10x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$6y-35y=12-45$$

6y ते -35y जोडा.

$$-29y=12-45$$

12 ते -45 जोडा.

$$-29y=-33$$

दोन्ही बाजूंना -29 ने विभागा.

$$y=\frac{33}{29}$$

2x+7y=9 मध्ये y साठी \frac{33}{29} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

\frac{33}{29} ला 7 वेळा गुणाकार करा.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{231}{29} वजा करा.

$$2x=\frac{30}{29}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने विभागा.

$$x=\frac{15}{29}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$