{l}{5x+2y=0}{6x-1y=2} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5x+2y=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2y वजा करा.

$$5x=-2y$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

-2y ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{2y}{5} चा विकल्प वापरा, 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

-\frac{2y}{5} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

-\frac{12y}{5} ते -y जोडा.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{17}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{10}{17}$$

x=-\frac{2}{5}y मध्ये y साठी -\frac{10}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{10}{17} चा -\frac{2}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{4}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

5x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

सरलीकृत करा.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 30x+12y=0 मधून 30x-5y=10 वजा करा.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

30x ते -30x जोडा. 30x आणि -30x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$12y+5y=-10$$

12y ते 5y जोडा.

$$17y=-10$$

दोन्ही बाजूंना 17 ने विभागा.

$$y=-\frac{10}{17}$$

6x-y=2 मध्ये y साठी -\frac{10}{17} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{10}{17} वजा करा.

$$6x=\frac{24}{17}$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{4}{17}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$