{l}{5u+x=-10}{3u+3x=0} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

u, x साठी सोडवा

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला u विलग करून, u साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5u+x=-10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून x वजा करा.

$$5u=-x-10$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

-x-10 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

इतर समीकरणामध्ये u साठी -\frac{x}{5}-2 चा विकल्प वापरा, 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

-\frac{x}{5}-2 ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

-\frac{3x}{5} ते 3x जोडा.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$\frac{12}{5}x=6$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{12}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$x=\frac{5}{2}$$

u=-\frac{1}{5}x-2 मध्ये x साठी \frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{5}{2} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

-2 ते -\frac{1}{2} जोडा.

$$u=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे u आणि x घटक बाहेर काढा.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

5u आणि 3u समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

सरलीकृत करा.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 15u+3x=-30 मधून 15u+15x=0 वजा करा.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

15u ते -15u जोडा. 15u आणि -15u रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3x-15x=-30$$

3x ते -15x जोडा.

$$-12x=-30$$

दोन्ही बाजूंना -12 ने विभागा.

$$x=\frac{5}{2}$$

3u+3x=0 मध्ये x साठी \frac{5}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण u साठी थेट सोडवू शकता.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

\frac{5}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{2} वजा करा.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$u=-\frac{5}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$