{l}{5b+c=8}{4b+4c=8} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

b, c साठी सोडवा

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला b विलग करून, b साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5b+c=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून c वजा करा.

$$5b=-c+8$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

-c+8 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये b साठी \frac{-c+8}{5} चा विकल्प वापरा, 4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

\frac{-c+8}{5} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

-\frac{4c}{5} ते 4c जोडा.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{32}{5} वजा करा.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{16}{5} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$c=\frac{1}{2}$$

b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5} मध्ये c साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{1}{2} चा -\frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{8}{5} ते -\frac{1}{10} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$b=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे b आणि c घटक बाहेर काढा.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

5b आणि 4b समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

सरलीकृत करा.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20b+4c=32 मधून 20b+20c=40 वजा करा.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

20b ते -20b जोडा. 20b आणि -20b रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$4c-20c=32-40$$

4c ते -20c जोडा.

$$-16c=32-40$$

32 ते -40 जोडा.

$$-16c=-8$$

दोन्ही बाजूंना -16 ने विभागा.

$$c=\frac{1}{2}$$

4b+4c=8 मध्ये c साठी \frac{1}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण b साठी थेट सोडवू शकता.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

\frac{1}{2} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$4b+2=8$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 2 वजा करा.

$$4b=6$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$b=\frac{3}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$