{l}{5a+25b=99}{25a+165b=523} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 5 a + 25 b = 99 } \\ { 25 a + 165 b = 523 } \end{array} \right.$$

a, b साठी सोडवा

$$a = \frac{163}{10} = 16\frac{3}{10} = 16.3$$

$$b=\frac{7}{10}=0.7$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला a विलग करून, a साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$5a+25b=99$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 25b वजा करा.

$$5a=-25b+99$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$a=\frac{1}{5}\left(-25b+99\right)$$

-25b+99 ला \frac{1}{5} वेळा गुणाकार करा.

$$a=-5b+\frac{99}{5}$$

इतर समीकरणामध्ये a साठी -5b+\frac{99}{5} चा विकल्प वापरा, 25a+165b=523.

$$25\left(-5b+\frac{99}{5}\right)+165b=523$$

-5b+\frac{99}{5} ला 25 वेळा गुणाकार करा.

$$-125b+495+165b=523$$

-125b ते 165b जोडा.

$$40b+495=523$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 495 वजा करा.

$$40b=28$$

दोन्ही बाजूंना 40 ने विभागा.

$$b=\frac{7}{10}$$

a=-5b+\frac{99}{5} मध्ये b साठी \frac{7}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$a=-5\times \frac{7}{10}+\frac{99}{5}$$

\frac{7}{10} ला -5 वेळा गुणाकार करा.

$$a=-\frac{7}{2}+\frac{99}{5}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{99}{5} ते -\frac{7}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$a=\frac{163}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&25\\25&165\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{165}{5\times 165-25\times 25}&-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}\\-\frac{25}{5\times 165-25\times 25}&\frac{5}{5\times 165-25\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{40}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}99\\523\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{40}\times 99-\frac{1}{8}\times 523\\-\frac{1}{8}\times 99+\frac{1}{40}\times 523\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{163}{10}\\\frac{7}{10}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे a आणि b घटक बाहेर काढा.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$5a+25b=99,25a+165b=523$$

5a आणि 25a समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 25 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने गुणाकार करा.

$$25\times 5a+25\times 25b=25\times 99,5\times 25a+5\times 165b=5\times 523$$

सरलीकृत करा.

$$125a+625b=2475,125a+825b=2615$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 125a+625b=2475 मधून 125a+825b=2615 वजा करा.

$$125a-125a+625b-825b=2475-2615$$

125a ते -125a जोडा. 125a आणि -125a रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$625b-825b=2475-2615$$

625b ते -825b जोडा.

$$-200b=2475-2615$$

2475 ते -2615 जोडा.

$$-200b=-140$$

दोन्ही बाजूंना -200 ने विभागा.

$$b=\frac{7}{10}$$

25a+165b=523 मध्ये b साठी \frac{7}{10} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण a साठी थेट सोडवू शकता.

$$25a+165\times \frac{7}{10}=523$$

\frac{7}{10} ला 165 वेळा गुणाकार करा.

$$25a+\frac{231}{2}=523$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{231}{2} वजा करा.

$$25a=\frac{815}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 25 ने विभागा.

$$a=\frac{163}{10}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$a=\frac{163}{10},b=\frac{7}{10}$$