{l}{45+.25x=y}{35+.30x=y} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 45 + .25 x = y } \\ { 35 + .30 x = y } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=200$$

$$y=95$$

विकल्प वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$45+0.25x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.25x-y=-45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$35+0.3x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.3x-y=-35$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$0.25x-y=-45$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$0.25x=y-45$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने गुणाकार करा.

$$x=4\left(y-45\right)$$

y-45 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=4y-180$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -180+4y चा विकल्प वापरा, 0.3x-y=-35.

$$0.3\left(4y-180\right)-y=-35$$

-180+4y ला 0.3 वेळा गुणाकार करा.

$$1.2y-54-y=-35$$

\frac{6y}{5} ते -y जोडा.

$$0.2y-54=-35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 54 जोडा.

$$0.2y=19$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणाकार करा.

$$y=95$$

x=4y-180 मध्ये y साठी 95 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=4\times 95-180$$

95 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$x=380-180$$

-180 ते 380 जोडा.

$$x=200$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=200,y=95$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$45+0.25x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.25x-y=-45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$35+0.3x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.3x-y=-35$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.25&-1\\0.3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&-\frac{-1}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\\-\frac{0.3}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}&\frac{0.25}{0.25\left(-1\right)-\left(-0.3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20&20\\-6&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-45\\-35\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\left(-45\right)+20\left(-35\right)\\-6\left(-45\right)+5\left(-35\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\95\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=200,y=95$$

निष्कासन वापरून चरणे

पहिल्या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$45+0.25x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 45 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.25x-y=-45$$

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून y वजा करा.

$$35+0.3x-y=0$$

दोन्ही बाजूंकडून 35 वजा करा. कोणत्याही संख्येला शून्यातून वजा केल्यास ऋण संख्या मिळते.

$$0.3x-y=-35$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$0.25x-y=-45,0.3x-y=-35$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 0.25x-y=-45 मधून 0.3x-y=-35 वजा करा.

$$0.25x-0.3x-y+y=-45+35$$

-y ते y जोडा. -y आणि y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$0.25x-0.3x=-45+35$$

\frac{x}{4} ते -\frac{3x}{10} जोडा.

$$-0.05x=-45+35$$

-45 ते 35 जोडा.

$$-0.05x=-10$$

दोन्ही बाजूंना -20 ने गुणाकार करा.

$$x=200$$

0.3x-y=-35 मध्ये x साठी 200 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$0.3\times 200-y=-35$$

200 ला 0.3 वेळा गुणाकार करा.

$$60-y=-35$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 60 वजा करा.

$$-y=-95$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$y=95$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=200,y=95$$