{l}{41x+53y=135}{53x+41y=147} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=1$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$41x+53y=135$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 53y वजा करा.

$$41x=-53y+135$$

दोन्ही बाजूंना 41 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

-53y+135 ला \frac{1}{41} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-53y+135}{41} चा विकल्प वापरा, 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

\frac{-53y+135}{41} ला 53 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

-\frac{2809y}{41} ते 41y जोडा.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{7155}{41} वजा करा.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{1128}{41} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=1$$

x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41} मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{135}{41} ते -\frac{53}{41} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=1$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=1$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

41x आणि 53x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 53 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 41 ने गुणाकार करा.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

सरलीकृत करा.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2173x+2809y=7155 मधून 2173x+1681y=6027 वजा करा.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

2173x ते -2173x जोडा. 2173x आणि -2173x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

2809y ते -1681y जोडा.

$$1128y=7155-6027$$

7155 ते -6027 जोडा.

$$1128y=1128$$

दोन्ही बाजूंना 1128 ने विभागा.

$$y=1$$

53x+41y=147 मध्ये y साठी 1 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$53x+41=147$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 41 वजा करा.

$$53x=106$$

दोन्ही बाजूंना 53 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=1$$