{l}{40x+30y=500}{60x+15y=600} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 600 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} = 8.75$$

$$y=5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$40x+30y=500$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 30y वजा करा.

$$40x=-30y+500$$

दोन्ही बाजूंना 40 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

-30y+500 ला \frac{1}{40} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} चा विकल्प वापरा, 60x+15y=600.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=600$$

-\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} ला 60 वेळा गुणाकार करा.

$$-45y+750+15y=600$$

-45y ते 15y जोडा.

$$-30y+750=600$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 750 वजा करा.

$$-30y=-150$$

दोन्ही बाजूंना -30 ने विभागा.

$$y=5$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2} मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{3}{4}\times 5+\frac{25}{2}$$

5 ला -\frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{15}{4}+\frac{25}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{25}{2} ते -\frac{15}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{35}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\600\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 600\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 600\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{4}\\5\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$40x+30y=500,60x+15y=600$$

40x आणि 60x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 60 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 40 ने गुणाकार करा.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 600$$

सरलीकृत करा.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=24000$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 2400x+1800y=30000 मधून 2400x+600y=24000 वजा करा.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-24000$$

2400x ते -2400x जोडा. 2400x आणि -2400x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$1800y-600y=30000-24000$$

1800y ते -600y जोडा.

$$1200y=30000-24000$$

30000 ते -24000 जोडा.

$$1200y=6000$$

दोन्ही बाजूंना 1200 ने विभागा.

$$y=5$$

60x+15y=600 मध्ये y साठी 5 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$60x+15\times 5=600$$

5 ला 15 वेळा गुणाकार करा.

$$60x+75=600$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 75 वजा करा.

$$60x=525$$

दोन्ही बाजूंना 60 ने विभागा.

$$x=\frac{35}{4}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{35}{4},y=5$$