{l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

y, x साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=-10$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-34$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला y विलग करून, y साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4y-5x=-70$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 5x जोडा.

$$4y=5x-70$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

-70+5x ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये y साठी -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} चा विकल्प वापरा, 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

-\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$5x-70+x=-34$$

5x ते x जोडा.

$$6x-70=-34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 70 जोडा.

$$6x=36$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=6$$

y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2} मध्ये x साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

6 ला \frac{5}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून -\frac{35}{2} ते \frac{15}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$y=-10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-10,x=6$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-34$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे y आणि x घटक बाहेर काढा.

$$y=-10,x=6$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंना 4y जोडा.

$$x+4y=-34$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 4y-5x=-70 मधून 4y+x=-34 वजा करा.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

4y ते -4y जोडा. 4y आणि -4y रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-5x-x=-70+34$$

-5x ते -x जोडा.

$$-6x=-70+34$$

-70 ते 34 जोडा.

$$-6x=-36$$

दोन्ही बाजूंना -6 ने विभागा.

$$x=6$$

4y+x=-34 मध्ये x साठी 6 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण y साठी थेट सोडवू शकता.

$$4y+6=-34$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$4y=-40$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$y=-10$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$y=-10,x=6$$