{l}{4x-y=22}{3x+4y=26} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 22 } \\ { 3 x + 4 y = 26 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=6$$

$$y=2$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-y=22$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस y जोडा.

$$4x=y+22$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+22\right)$$

y+22 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{4}+\frac{11}{2} चा विकल्प वापरा, 3x+4y=26.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{2}\right)+4y=26$$

\frac{y}{4}+\frac{11}{2} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{4}y+\frac{33}{2}+4y=26$$

\frac{3y}{4} ते 4y जोडा.

$$\frac{19}{4}y+\frac{33}{2}=26$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{33}{2} वजा करा.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=2$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{2} मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{4}\times 2+\frac{11}{2}$$

2 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1+11}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{11}{2} ते \frac{1}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=2$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\26\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{19}\times 22+\frac{1}{19}\times 26\\-\frac{3}{19}\times 22+\frac{4}{19}\times 26\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=6,y=2$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-y=22,3x+4y=26$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 22,4\times 3x+4\times 4y=4\times 26$$

सरलीकृत करा.

$$12x-3y=66,12x+16y=104$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-3y=66 मधून 12x+16y=104 वजा करा.

$$12x-12x-3y-16y=66-104$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y-16y=66-104$$

-3y ते -16y जोडा.

$$-19y=66-104$$

66 ते -104 जोडा.

$$-19y=-38$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=2$$

3x+4y=26 मध्ये y साठी 2 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+4\times 2=26$$

2 ला 4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+8=26$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 8 वजा करा.

$$3x=18$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=6$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=6,y=2$$