{l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-7y=23$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 7y जोडा.

$$4x=7y+23$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

7y+23 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{7y+23}{4} चा विकल्प वापरा, 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

\frac{7y+23}{4} ला 6 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

\frac{21y}{2} ते 2y जोडा.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{69}{2} वजा करा.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{25}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-3$$

x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4} मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

-3 ला \frac{7}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{23}{4} ते -\frac{21}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

4x आणि 6x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 6 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

सरलीकृत करा.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 24x-42y=138 मधून 24x+8y=-12 वजा करा.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

24x ते -24x जोडा. 24x आणि -24x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-42y-8y=138+12$$

-42y ते -8y जोडा.

$$-50y=138+12$$

138 ते 12 जोडा.

$$-50y=150$$

दोन्ही बाजूंना -50 ने विभागा.

$$y=-3$$

6x+2y=-3 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

-3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$6x-6=-3$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 6 जोडा.

$$6x=3$$

दोन्ही बाजूंना 6 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{2}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$