{l}{4x-3y=1}{5x+y=7} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$y = \frac{23}{19} = 1\frac{4}{19} \approx 1.210526316$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-3y=1$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3y जोडा.

$$4x=3y+1$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

3y+1 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{3y+1}{4} चा विकल्प वापरा, 5x+y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=7$$

\frac{3y+1}{4} ला 5 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+y=7$$

\frac{15y}{4} ते y जोडा.

$$\frac{19}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{5}{4} वजा करा.

$$\frac{19}{4}y=\frac{23}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{19}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=\frac{23}{19}$$

x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4} मध्ये y साठी \frac{23}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{3}{4}\times \frac{23}{19}+\frac{1}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून \frac{23}{19} चा \frac{3}{4} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{69}{76}+\frac{1}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{1}{4} ते \frac{69}{76} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{5}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}+\frac{3}{19}\times 7\\-\frac{5}{19}+\frac{4}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{23}{19}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-3y=1,5x+y=7$$

4x आणि 5x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 5 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4y=4\times 7$$

सरलीकृत करा.

$$20x-15y=5,20x+4y=28$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 20x-15y=5 मधून 20x+4y=28 वजा करा.

$$20x-20x-15y-4y=5-28$$

20x ते -20x जोडा. 20x आणि -20x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-15y-4y=5-28$$

-15y ते -4y जोडा.

$$-19y=5-28$$

5 ते -28 जोडा.

$$-19y=-23$$

दोन्ही बाजूंना -19 ने विभागा.

$$y=\frac{23}{19}$$

5x+y=7 मध्ये y साठी \frac{23}{19} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$5x+\frac{23}{19}=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{23}{19} वजा करा.

$$5x=\frac{110}{19}$$

दोन्ही बाजूंना 5 ने विभागा.

$$x=\frac{22}{19}$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=\frac{22}{19},y=\frac{23}{19}$$