{l}{4x-2y=5}{3x-4y=15} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 5 } \\ { 3 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=-1$$

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y=5$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y+5$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+5\right)$$

2y+5 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{y}{2}+\frac{5}{4} चा विकल्प वापरा, 3x-4y=15.

$$3\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{4}\right)-4y=15$$

\frac{y}{2}+\frac{5}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{4}-4y=15$$

\frac{3y}{2} ते -4y जोडा.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{15}{4}=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{15}{4} वजा करा.

$$-\frac{5}{2}y=\frac{45}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{5}{2} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-\frac{9}{2}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{4} मध्ये y साठी -\frac{9}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{9}{2}\right)+\frac{5}{4}$$

अंशाला अंशांच्या संख्येने आणि विभाजकाला विभाजकांच्या संख्येने गुणाकार करून -\frac{9}{2} चा \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा. नंतर शक्य तितक्या कमी टर्म्सपर्यंत अंश कमी करा.

$$x=\frac{-9+5}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{4} ते -\frac{9}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5-\frac{1}{5}\times 15\\\frac{3}{10}\times 5-\frac{2}{5}\times 15\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y=5,3x-4y=15$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3\left(-2\right)y=3\times 5,4\times 3x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

सरलीकृत करा.

$$12x-6y=15,12x-16y=60$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x-6y=15 मधून 12x-16y=60 वजा करा.

$$12x-12x-6y+16y=15-60$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-6y+16y=15-60$$

-6y ते 16y जोडा.

$$10y=15-60$$

15 ते -60 जोडा.

$$10y=-45$$

दोन्ही बाजूंना 10 ने विभागा.

$$y=-\frac{9}{2}$$

3x-4y=15 मध्ये y साठी -\frac{9}{2} विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x-4\left(-\frac{9}{2}\right)=15$$

-\frac{9}{2} ला -4 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+18=15$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 18 वजा करा.

$$3x=-3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=-1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=-1,y=-\frac{9}{2}$$