{l}{4x-2y=10}{y=x-4} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 10 } \\ { y = x - 4 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=-3$$

विकल्प वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-4$$

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x-2y=10,-x+y=-4$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x-2y=10$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 2y जोडा.

$$4x=2y+10$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+10\right)$$

10+2y ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{5+y}{2} चा विकल्प वापरा, -x+y=-4.

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=-4$$

\frac{5+y}{2} ला -1 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+y=-4$$

-\frac{y}{2} ते y जोडा.

$$\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस \frac{5}{2} जोडा.

$$\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

दोन्ही बाजूंना 2 ने गुणाकार करा.

$$y=-3$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{5}{2}$$

-3 ला \frac{1}{2} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{5}{2} ते -\frac{3}{2} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-4$$

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x-2y=10,-x+y=-4$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10-4\\\frac{1}{2}\times 10+2\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=-3$$

निष्कासन वापरून चरणे

दुसर्‍या समीकरणाचा विचार करा. दोन्ही बाजूंकडून x वजा करा.

$$y-x=-4$$

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x-2y=10,-x+y=-4$$

4x आणि -x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -1 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-4x-\left(-2y\right)=-10,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-4\right)$$

सरलीकृत करा.

$$-4x+2y=-10,-4x+4y=-16$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -4x+2y=-10 मधून -4x+4y=-16 वजा करा.

$$-4x+4x+2y-4y=-10+16$$

-4x ते 4x जोडा. -4x आणि 4x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$2y-4y=-10+16$$

2y ते -4y जोडा.

$$-2y=-10+16$$

-10 ते 16 जोडा.

$$-2y=6$$

दोन्ही बाजूंना -2 ने विभागा.

$$y=-3$$

-x+y=-4 मध्ये y साठी -3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-x-3=-4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-x=-1$$

दोन्ही बाजूंना -1 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=-3$$