{l}{4x+y=7}{3x+2y=9} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=1$$

$$y=3$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+y=7$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$4x=-y+7$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

-y+7 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी \frac{-y+7}{4} चा विकल्प वापरा, 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

\frac{-y+7}{4} ला 3 वेळा गुणाकार करा.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

-\frac{3y}{4} ते 2y जोडा.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून \frac{21}{4} वजा करा.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना \frac{5}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

3 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

सामायिक विभाजक शोधून आणि अंशे जोडून \frac{7}{4} ते -\frac{3}{4} जोडा. नंतर शक्य असल्यास भागांश निम्नतम टर्मपर्यंत कमी करा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हे उलटे मॅट्रिक्स आहे, ज्यामुळे मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार समस्या म्हणून पुन्हा लिहीली जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=1,y=3$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

4x आणि 3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

सरलीकृत करा.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून 12x+3y=21 मधून 12x+8y=36 वजा करा.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

12x ते -12x जोडा. 12x आणि -12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$3y-8y=21-36$$

3y ते -8y जोडा.

$$-5y=21-36$$

21 ते -36 जोडा.

$$-5y=-15$$

दोन्ही बाजूंना -5 ने विभागा.

$$y=3$$

3x+2y=9 मध्ये y साठी 3 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$3x+2\times 3=9$$

3 ला 2 वेळा गुणाकार करा.

$$3x+6=9$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 6 वजा करा.

$$3x=3$$

दोन्ही बाजूंना 3 ने विभागा.

$$x=1$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=1,y=3$$