{l}{4x+y=4}{-3x-6y=18} सोडवा

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

x, y साठी सोडवा

$$x=2$$

$$y=-4$$

विकल्प वापरून चरणे

विकल्प वापरून समीकरणांची जोडी सोडविण्यासाठी, प्रथम कोणत्यातरी चल राशीसाठी समीकरणांपैकी एक सोडवा. नंतर तो परिणाम त्या चल राशीसाठी दुसर्या समीकरणात विकल्प म्हणून वापरा.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

समान चिन्हाच्या डाव्या बाजूला x विलग करून, x साठी समीकरणांपैकी एक सोडविण्यासाठी निवडा.

$$4x+y=4$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून y वजा करा.

$$4x=-y+4$$

दोन्ही बाजूंना 4 ने विभागा.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

-y+4 ला \frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

इतर समीकरणामध्ये x साठी -\frac{y}{4}+1 चा विकल्प वापरा, -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

-\frac{y}{4}+1 ला -3 वेळा गुणाकार करा.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

\frac{3y}{4} ते -6y जोडा.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूस 3 जोडा.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना -\frac{21}{4} ने विभागा, जे दोन्ही बाजूंना अंशाच्या व्युत्क्रमणाने गुणण्यासारखेच आहे.

$$y=-4$$

x=-\frac{1}{4}y+1 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

-4 ला -\frac{1}{4} वेळा गुणाकार करा.

$$x=1+1$$

1 ते 1 जोडा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-4$$

मॅट्रिक्स वापरून चरणे

समीकरणे मानक फॉर्ममध्ये ठेवा आणि नंतर समीकरणांची व्यवस्था सोडविण्यासाठी मॅट्रिक्स वापरा.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

मॅट्रिक्स स्वरूपात समीकरणे लिहा.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

समीकरणाला \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right) च्या व्यस्त मॅट्रिक्सने गुणा.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्स आणि त्याच्या व्यस्ताचा गुणाकार हा अविकारक मॅट्रिक्स आहे.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

समान चिन्हाच्या डावीकडे मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) साठी, व्यस्त मॅट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) आहे, म्हणून मॅट्रिक्स समीकरण मॅट्रिक्स गुणाकार उदाहरणाच्या स्वरुपात पुन्हा लिहिले जाऊ शकते.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचा गुणाकार करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

अंकगणित करा.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

मॅट्रिक्सचे x आणि y घटक बाहेर काढा.

$$x=2,y=-4$$

निष्कासन वापरून चरणे

निष्कासनाद्वारे सोडविण्यासाठी, चर राशींपैकी एकाचा गुणक दोन्ही समीकरणात सारखा असलाच पाहिजे ज्यामुळे जेव्हा एक समीकरण दुसर्यातून वजा केले जाईल तेव्हा चर राशी रद्द होईल.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

4x आणि -3x समान करण्यासाठी, प्रथम समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना -3 ने आणि द्वितीय समीकरणाच्या प्रत्येक बाजूच्या सर्व टर्म्सना 4 ने गुणाकार करा.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

सरलीकृत करा.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

समान चिन्हाच्या प्रत्येक बाजूला सारखे टर्म्स वजा करून -12x-3y=-12 मधून -12x-24y=72 वजा करा.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

-12x ते 12x जोडा. -12x आणि 12x रद्द करा, जे सोडवले जाऊ शकेल असे केवळ एक चल असलेले समीकरण राहिले.

$$-3y+24y=-12-72$$

-3y ते 24y जोडा.

$$21y=-12-72$$

-12 ते -72 जोडा.

$$21y=-84$$

दोन्ही बाजूंना 21 ने विभागा.

$$y=-4$$

-3x-6y=18 मध्ये y साठी -4 विकल्प म्हणून ठेवा. कारण परिणामी समीकरणात केवळ एकच चर राशी समाविष्ट आहे, आपण x साठी थेट सोडवू शकता.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

-4 ला -6 वेळा गुणाकार करा.

$$-3x+24=18$$

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून 24 वजा करा.

$$-3x=-6$$

दोन्ही बाजूंना -3 ने विभागा.

$$x=2$$

सिस्टम आता सोडवली आहे.

$$x=2,y=-4$$